具有两种边权的二部图的顶点着色边赋权

设$G$是一个图，$\mathcal {S}$是$Z$的一个子集。$G$的顶点着色$\mathcal {S}$-边赋权是指将$\mathcal {S}$中的元素作为权重赋给$G$的每条边，使得相邻顶点具有不同的关联边权重之和。已证明每个3-连通二部图都允许顶点着色$\{1,2\}$-边赋权（Lu, Yu and Zhang, (2011) \cite{LYZ}）。在本文中，我们证明以下结果：如果一个最小度$\delta$的3-边连通二部图$G$包含一个顶点$u\in V(G)$使得$d_G(u)=\delta$且$G-u$连通，则$G$允许顶点着色$\mathcal {S}$-边赋权，其中$\mathcal {S}\in \{\{0,1\},\{1,2\}\}$。特别地，我们证明每个2-连通且3-边连通的二部图允许顶点着色$\mathcal {S}$-边赋权，其中$\mathcal {S}\in \{\{0,1\},\{1,2\}\}$。这个界是紧的，因为存在一族无限二部图，它们是2-连通的，但不允许顶点着色$\{1,2\}$-边赋权或顶点着色$\{0,1\}$-边赋权。