带局部约束的邻点和区分边赋权

$G$ 的一个 $k$-边赋权是一个映射 $\omega:E(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$。$G$ 的边赋权自然诱导出一个顶点着色 $\sigma_{\omega}:V(G)\longrightarrow \mathbb{N}$，对每个 $v\in V(G)$ 定义为 $\sigma_{\omega}(v)=\sum_{u\in N_G(v)}\omega(vu)$。若边赋权 $\omega$ 产生一个正常的顶点着色 $\sigma_{\omega}$，即对于 $G$ 的每条边 $uv$ 有 $\sigma_{\omega}(u)\neq \sigma_{\omega}(v)$，则称其为邻点和区分的。我们研究带局部约束的邻点和区分边赋权，即假设与大度顶点关联的边集不是单色的。若图没有同构于 $K_2$ 的连通分支，则称其为好的（nice）。我们证明每个最大度至多为 5 的好图容许一个邻点和区分的 $(\Delta(G)+2)$-边赋权，使得所有度数至少为 2 的顶点都关联至少两条不同权重的边。进一步，我们证明每个好图容许一个邻点和区分的 $7$-边赋权，使得所有度数至少为 6 的顶点都关联至少两条不同权重的边。最后，我们表明好二部图容许一个邻点和区分的 $6$-边赋权，使得所有度数至少为 2 的顶点都关联至少两条不同权重的边。