图的邻点全和区分染色的一个推广

设 $f: V(G)\cup E(G)\rightarrow \{1,2,\dots,k\}$ 为 $G$ 的一个非真全 $k$-染色。定义全染色上的权函数如下：$$\phi(x)=f(x)+\sum\limits_{e\ni x}f(e)+\sum\limits_{y\in N(x)}f(y),$$ 其中 $N(x)=\{y\in V(G)|xy\in E(G)\}$。若对任意边 $xy\in E(G)$ 均有 $\phi(x)\neq \phi(y)$，则称 $f$ 为 $G$ 的邻点全和区分全 $k$-染色。使 $G$ 具有此种染色的最小 $k$ 值称为 $G$ 的邻点全和区分全色数，记作 fgndi$_{\sum}(G)$。该染色是邻点和区分非真全染色的一种推广。本文我们猜想：对任意阶至少为三的连通图 $G$，均有 fgndi$_{\sum}(G)\leq 3$。我们证明了该猜想对以下情形成立：(i) 路和圈；(ii) 3-正则图；以及 (iii) 星图、完全图、树、超立方体、二部图和完全 $r$-部图。特别地，完全图可达到上述猜想的上界。