准多数邻居和区分边色彩

本文中，$k$ 边色彩是将图 $G$ 的边映射到区间 $[k]$ 的函数 $c:E(G)\longrightarrow [k]$。图 $G$ 的边色彩 $c$ 天然定义了一个顶点色彩 $\sigma_{c}: V(G) \to \mathbb{N}$，其中 $\sigma_{c}(v)=\sum_{u\in N_G(v)}c(vu)$ 对图 $G$ 中的每个顶点 $v\in V(G)$ 成立。若边色彩 $c$ 导致产生proper vertex-coloring $\sigma_{c}$，即对图 $G$ 中的每个边 $uv$ 都有 $\sigma_{c}(u) \neq \sigma_{c}(v)$，则称该边色彩 $c$ 为邻居和区分色彩。我们研究具有局部约束的邻居和区分边色彩，其中边色彩在每个顶点处为准多数。具体而言，每个顶点 $v$ 所 incident 的至多 $\left\lceil d(v)/2 \right\rceil$ 条边同一种颜色。这种类型的色彩称为准多数邻居和区分边色彩。图 $G$ 能否拥有准多数邻居和区分边色彩所需的最少颜色数称为准多数邻居和区分指数。如果图 $G$ 没有任何一个分量同构于 $K_2$，则称其为 nice 图。我们证明任何 nice 图都可以使用至多 12 种颜色实现准多数邻居和区分边色彩。该上界可针对二分图或最大度数至多为 4 的图进行改进。具体而言，我们证明任何 nice 二分图可使用 6 种颜色完成，任何最大度数至多为 4 的 nice 图可使用 7 种颜色完成。此外，我们还确定了完全图、完全二分图和树的准多数邻居和区分指数的确切值。我们还考虑了多数邻居和区分边色彩，即每个顶点 incident 的至多 $d(v)/2$ 条边同一种颜色。