关于稀疏图的定位与邻域定位染色

图 $G$ 的恰当 $k$-染色若对同色类中的每对顶点，其各自邻域中所出现的颜色集合互不相同，则称为\emph{邻域定位 $k$-染色}。\textit{邻域定位色数} $\chi_{NL}(G)$ 是 $G$ 容许邻域定位 $k$-染色的最小 $k$。图 $G$ 的恰当 $k$-顶点染色若对同色类中的每对顶点 $x$ 与 $y$，存在一色类 $S_i$ 使得 $d(x,S_i)\neq d(y,S_i)$，则称为\emph{定位 $k$-染色}。定位色数 $\chi_{L}(G)$ 是 $G$ 容许定位 $k$-染色的最小 $k$。我们的主要结果关注给定邻域定位色数的稀疏图的最大可能阶。更确切地说，我们证明若 $G$ 的阶为 $n$、邻域定位色数为 $k$ 且平均度至多为 $2a$（其中 $2a\le k-1$ 为一正整数），则 $n$ 被上界 $\mathcal{O}(a^2(k^{2a+1}))$ 所界。我们还设计了一族最大度有界的图，其阶接近该上界。我们的上界推广了文献中先前获得的两种上界，分别针对最大度有界图与圈秩有界图。此外，我们证明判定 $\chi_L(G)\le k$ 与 $\chi_{NL}(G)\le k$ 对稀疏图是 NP-完全的：更确切地说，对平均度至多为 7、最大平均度至多为 20 且为 $4$-部图者。我们还研究了图的普通色数、定位色数与邻域定位色数之间可能的关系。