树的定位色数的一个界

设$f$是连通图$G$的一个正常$k$-着色，$\Pi=(V_1,V_2,\ldots,V_k)$是将$V(G)$划分为所得色类的有序划分。对于$G$的顶点$v$，其关于$\Pi$的色码定义为有序$k$-元组$c_{{}_\Pi}(v)=(d(v,V_1),d(v,V_2),\ldots,d(v,V_k))$，其中$d(v,V_i)=\min\{d(v,x): x\in V_i\}, 1\leq i\leq k$。如果不同顶点具有不同的色码，则称$f$为定位着色。$G$的定位着色所需的最少颜色数称为$G$的定位色数，记为$\Cchi_{{}_L}(G)$。在本文中，我们研究了树的定位色数。我们针对 Gary Chartrand 等人关于树的定位色数的一个定理 [G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, P. Zhang, The locating-chromatic number of a graph, Bull. Inst. Combin. Appl. 36 (2002) 89-101] 提供了一个反例。此外，我们给出了树的定位色数的一个新界。然后，通过构造一个特殊的树族，我们证明了该界是最优的。