用最优颜色数分布式着色图

本文研究了在 LOCAL 计算模型下获得最优（即使用最少颜色数）图着色的高效分布式算法的充分条件。迄今为止，大多数关于分布式顶点着色的工作都集中于用至多 $\Delta+1$ 种颜色（或在禁止某些简单障碍时用 $\Delta$ 种颜色）对最大度数为 $\Delta$ 的图进行着色。当 $\Delta$ 足够大且 $c\ge \Delta-k_\Delta+1$（其中某个整数 $k_\Delta\approx \sqrt{\Delta}-2$）时，我们给出了一个分布式算法，该算法给定最大度数 $\Delta$ 的可 $c$ 着色图 $G$，以高概率在 $\min\{O((\log\Delta)^{1/12}\log n), 2^{O(\log \Delta+\sqrt{\log \log n})}\}$ 轮内找到 $G$ 的一个 $c$ 着色。下界 $\Delta-k_\Delta+1$ 是最佳可能的，其意义在于对无穷多个 $\Delta$ 值，我们证明了当 $\chi(G)\le \Delta -k_\Delta$ 时，求 $G$ 的最优着色需要 $\Omega(n)$ 轮。我们的证明是对 Molloy 和 Reed 一个显著结果的轻微改写，他们证明了当 $\Delta$ 足够大时，对任意 $c\ge \Delta - k_\Delta$，判定 $\chi(G)\le c$ 属于 {\textsf{P}}，而 Embden-Weinert \emph{et al.}\ 证明了当 $c\le \Delta-k_\Delta-1$ 时，同一问题是 {\textsf{NP}}-完全的。注意顺序与分布式阈值相差一。我们还证明了对于任意足够大的 $\Delta$，以及 $\Omega(\log \Delta)\le k \le \Delta/100$，最大度数 $\Delta$ 且团数至多为 $\Delta-k$ 的每幅图都可用至多 $\Delta-\varepsilon k$ 种颜色高效着色（其中 $\varepsilon >0$ 为绝对常数），所用随机算法以高概率在 $O(\log n/\log \log n)$ 轮内运行。