完全多部图的 t-松弛染色

设 $G$ 为一图，$t$ 为一非负整数。假设 $f$ 是从 $G$ 的顶点集到 $\{1,2,\dots, k\}$ 的映射。若对 $G$ 的任意顶点 $u$，满足 $f(v)=f(u)$ 的 $u$ 的邻点 $v$ 的数目小于或等于 $t$，则称 $f$ 为 $G$ 的一个 $t$-松弛 $k$-染色。并称 $G$ 是 $(k,t)$-可染色的。$G$ 的 $t$-松弛色数记为 $\chi_t(G)$，定义为使得 $G$ 是 $(k,t)$-可染色的最小整数 $k$。$G$ 中顶点集 $S$ 称为 $t$-稀疏的，若 $S$ 导出的图的最大度至多为 $t$。因此 $G$ 是 $(k,t)$-可染色的当且仅当 $G$ 的顶点集可划分为 $k$ 个 $t$-稀疏集。Belmonte、Lampis 与 Mitsou（2017）证明了判定一个完全多部图是否为 $(k,t)$-可染色的问题是 NP-完全的。本文中，我们首先给出完全多部图的 $t$-松弛色数的紧下界与上界。然后我们设计了一个在 $O((t+1)^2)$ 时间内计算完全多部图的最大 $t$-稀疏集的算法。应用该算法，我们表明求 $\chi_t(G)$ 的贪心算法是 $2$-近似的，并在 $O(tn)$ 时间步内运行（其中 $n$ 为 $G$ 的顶点数）。特别地，我们证明对 $t\in \{1,2,3,4,5,6\}$，贪心算法给出完全多部图的最优 $t$-松弛染色。而对 $t\ge 7$，给出了例子说明贪心策略并非总能构造出最优 $t$-松弛染色。