近着色：不可着色图与 NP 完全性

如果图 $G$ 的顶点集可以划分为子集 $V_1,..,V_l$，使得由 $V_i$ 的顶点诱导的子图 $G[V_i]$ 的最大度数至多为 $d_i$（对所有 $1 \le i \le l$），则称图 $G$ 是 $(d_1,..,d_l)$-可着色的。在本文中，我们关注 $l=2,3$ 时此类着色的复杂度方面。更确切地说，我们证明了对于任意固定的整数 $k,j,g$，其中 $(k,j)$ 不同于 $(0,0)$ 且 $g \ge 3$，要么所有围长至少为 $g$ 的平面图都是 $(k,j)$-可着色的，要么判定一个围长至少为 $g$ 的平面图是否为 $(k,j)$-可着色是 NP 完全的。此外，对于任意固定的整数 $k$，判定一个要么是 $(0,0,0)$-可着色要么是非 $(k,k,1)$-可着色的平面图是否为 $(0,0,0)$-可着色是 NP 完全的。另外，我们展示了围长为 5 的非 $(3,1)$-可着色平面图和围长为 7 的非 $(2,0)$-可着色平面图。