围长五的平面图的分数染色

图 G 是 (a:b)-可染色的，如果存在将 {1,...,a} 的 b 元子集分配给 G 的顶点，使得相邻顶点分配到的集合不相交。我们首先证明，对于每個无三角形平面图 G 及其顶点 x，图 G 有一个用 {1,...,6} 的子集对顶点进行集合染色 phi，使得对 G 的每个顶点 v 有 |phi(v)|>=2，且 |phi(x)|=3。作为推论，每个含 n 个顶点的无三角形平面图是 (6n:2n+1)-可染色的。我们进一步利用此结果证明，对每个 Delta，存在常数 M_Delta，使得每个围长至少为五且最大度数为 Delta 的平面图是 (6M_Delta:2M_Delta+1)-可染色的。因此，最大度数 Delta 有界且围长至少为五的平面图其分数色数至多为 3-3/(2M_Delta+1)。