曲面上围长至少为 5 的图的 $(1, k)$-着色

如果一个图的顶点集可以划分为 $r$ 个集合 $V_1, ..., V_r$，使得由每个 $V_i$ ($i\in \{1, ..., r\}$) 导出的子图的最大度数至多为 $d_i$，则称该图是 $(d_1, ..., d_r)$-可着色的。对于给定的对 $(g, d_1)$，确定最小 $d_2=d_2(g; d_1)$ 使得围长至少为 $g$ 的平面图是 $(d_1, d_2)$-可着色的问题引起了广泛关注。除了 $(g, d_1)=(5, 1)$ 的情况外，$d_2(g; d_1)$ 的有限性在所有情况下都是已知的。Montassier 和 Ochem 明确询问了 $d_2(5; 1)$ 是否有限。我们对此问题给出了肯定的回答，即 $d_2(5; 1)\leq 10$；具体而言，我们证明了所有围长至少为 $5$ 的平面图都是 $(1, 10)$-可着色的。此外，我们的证明推广到如下结论：对于任意欧拉示性数为 $\gamma$ 的曲面 $S$，存在一个 $K=K(\gamma)$，使得可嵌入 $S$ 且围长至少为 $5$ 的图都是 $(1, K)$-可着色的。另一方面，不存在有限的 $k$ 使得围长至少为 $5$ 的平面图（因此也可嵌入任何曲面）是 $(0, k)$-可着色的。