图的条件可彩色性复杂度

对于整数 $r>0$, 图 $G$ 的条件 $(k,r)$-彩色是指对 $G$ 的顶点进行 proper $k$-彩色，使得 $G$ 中每个度为 $d(v)$ 的顶点 $v$ 与至少 $min\{r, d(v)\}$ 个不同颜色的顶点相邻。图 $G$ 具有条件 $(k,r)$-彩色的最小整数 $k$ 称为第 $r$ 阶条件色数，记作 $\chi_r(G)$。显而易见，条件彩色是传统顶点彩色的一个推广，其中 $r=1$。本文我们考察了图的条件彩色问题。主要结果是，三角形自由且最大度至多为 3 的图的条件 $(3,2)$-可彩色性是 NP-完整的，这与传统 3-可彩色性在最大度至多为 3 的图上是多项式可解的旧结果不同。这也意味着确定最大度为 3 的图是否为 $(3,2)$-或 $(4,2)$-可彩色是 NP-完整的。我们还证明了一些传统彩色的旧复杂度结果仍然适用于条件彩色。