关于图的广义列表$\G$-自由染色

对于给定的图$H$与图性质$P$，$H$的条件色数$\chi(H,P)$是最小的数$k$，使得$V(H)$可分解为集合$V_1,V_2,\ldots, V_k$，其中对每个$1\leq i\leq k$，$H[V_i]$满足性质$P$。当性质$P$为每个色类不含$G$的拷贝时，我们记$\chi_{G}(H)$以代替$\chi(G,P)$，称之为$G$-自由色数。由此，若存在映射$c : V(H) \longrightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得$c$的每个色类均为$G$-自由，则称$H$具有$k$-$G$-自由染色。假设图$H$的每个顶点$v$被赋予一个颜色集合$L(V)$，称为颜色列表。记$g(L) = \{g(v): v\in V(H)\}$，即$H$的顶点在$g$下所选颜色的集合。若对每个$v\in V(H)$有$g(v)\in L(v)$，且对每个$i=1,2,\ldots, L$有$H[V_i]$为$G$-自由，则称$L$-染色$g$为$G$-自由的。若$H$存在$L$-染色，则称$H$为$L$-$G$-自由可染的。若对任意满足对每个$v\in V(H)$有$|L(V)|\geq k$的列表指派$L$，$H$均存在$L$-染色且对每个$i=1,2,\ldots, L$有$H[V_i]$为$G$-自由，则称图$H$为$k$-$G$-自由可选择的。给定图$H$与一族图$\G$，$H$的$\chi_{\G}^L(H)$为最大的整数$k$，使得$H$是$k$-$\G$-自由可选择的，即对每个$i=1,2,\ldots, k$有$H[V_i]$为$\G$-自由，亦即不含$\G$中任何成员的拷贝。在本文中，我们证明对某些图$H$与$G$有$\chi_G^L(H)=\chi_G(H)$；对每个$G$、$H$与$H'$有$\chi_G^L(H\oplus H')\leq \chi_G^L(H)+\chi_G^L(H')$。此外，我们证明当$\G$为所有$d$-正则图构成的族且对某个$n$时，$\chi_{\G}(H\oplus K_n)=\chi^L_{\G}(H\oplus K_n)$。