图幂的色可选性

图 $G$ 的 $k$ 次幂 $G^k$ 是定义在 $V(G)$ 上的图，其中两个顶点 $u$ 和 $v$ 在 $G^k$ 中相邻，当且仅当它们在 $G$ 中的距离至多为 $k$。设 $\chi(H)$ 和 $\chi_l(H)$ 分别为 $H$ 的色数和列表色数。若 $\chi_l (H) = \chi(H)$，则称图 $H$ 为{\em 色可选的}。寻找色可选图是一个有趣的问题。Xuding Zhu (2012) 提出了一个自然的问题：是否存在一个常数整数 $k$，使得对于任意图 $G$，$G^k$ 都是色可选的？受列表全着色猜想的启发，Kostochka 和 Woodall (2001) 曾询问是否对于任意图 $G$，$G^2$ 都是色可选的。Kim 和 Park (2013) 通过发现一族其平方为各部集合大小相等且无界的完全多部图的图，对 Kostochka 和 Woodall 的问题给出了否定回答。在本文中，我们通过证明对于每个整数 $k \geq 2$，都存在一个图 $G$ 使得 $G^k$ 不是色可选的，从而回答了 Zhu 的问题。此外，对于任意固定的 $k$，我们证明了值 $\chi_l(G^k) - \chi(G^k)$ 可以任意大。