论完全二部图的Ohba数与广义Ohba数

当一个图 $G$ 的选择数 $\chi_{\ell}(G)$ 等于其色数 $\chi(G)$ 时，我们称该图是色可选的。色可选性是一个被广泛研究的课题，事实上，一些与列表着色相关的最著名的结果和猜想都涉及色可选性。2002年，Ohba证明了对于任意图 $G$，存在一个 $N \in \mathbb{N}$，使得 $G$ 与至少有 $N$ 个顶点的完全图的联图是色可选的。$G$ 的Ohba数即为满足该条件的最小的 $N$。2014年，Noel建议研究部集大小分别为 $a$ 和 $b$ 的完全二部图的Ohba数 $\tau_{0}(a,b)$。在本文中，我们改进了Allagan在2009年的结果，证明了对于所有 $b \geq 2$，$\tau_{0}(2,b) = \lfloor \sqrt{b} \rfloor - 1$，并且我们证明了对于 $a \geq 2$，当 $b \rightarrow \infty$ 时，$\tau_{0}(a,b) = \Omega( \sqrt{b} )$。我们还发起对图的Ohba数的一些松弛版本的研究，我们将其称为广义Ohba数。我们给出了完全二部图广义Ohba数的一些上下界，同时提出了一些问题。