具有不同列表大小的列表着色：完全二部图情形

设 $f:V \rightarrow \mathbb{N}$ 为图 $G=(V,E)$ 顶点集上的函数。若对于任意由 $f$ 指定列表大小的列表族，均存在从这些列表中选取颜色的正常着色，则称图 $G$ 为 {\em $f$-可选}。和选择数 $\chi_{sc}(G)$ 定义为使得 $G$ 为 $f$-可选的所有函数 $f$ 中 $\sum f(v)$ 的最小值。已知 (Alon 1993, 2000) 若图 $G$ 的平均度为 $d$，则通常的选择数 $\chi_\ell(G)$ 至少为 $\Omega(\log d)$，因此二者同步增长。本文证明，当最小度 $\delta_{\min}(G)\rightarrow \infty$ 时，$\chi_{sc}(G)/|V(G)|$ 仍可被有界。我们的主要工具是为非平衡完全二部图 $K_{a,q}$ 的和选择数给出紧确估计。