图的渐近最优邻和区分全着色

考虑最大度$\Delta$的简单图$G=(V,E)$及其用集合$\{1,2,\ldots,k\}$中元素进行的正常全着色$c$。若对于每对相邻顶点$u$、$v$，有$c(u)+\sum_{e\ni u}c(e)\neq c(v)+\sum_{e\ni v}c(e)$，则称着色$c$为邻和区分的。存在的最小整数$k$记为$\chi"_{\sum}(G)$，因此$\chi"_{\sum}(G) \geq \Delta+1$。另一方面，有人大胆猜想，仅需比著名的全着色猜想中假设多一个标签即可构造这样的全着色$c$，即对所有图有$\chi"_{\sum}(G) \leq \Delta+3$。我们证明它的渐近版本$\chi"_{\sum}(G) \leq (1+o(1))\Delta$以支持该不等式。证实此结论的构造主要依赖于颜色的随机分配，其中每条边的选择被随机分配给顶点的所谓吸引子所偏置，以及Molloy和Reed关于全着色猜想本身的概率结果。