3-退化图的相邻顶点可区分总染色

图的总染色是将颜色赋予其顶点和边的方式，使得顶点的颜色构成proper 顶点染色，边的颜色构成proper 边染色，且每条边的颜色与其两个端点的颜色均不同。即，对简单无向图 $G$，若 $\phi:V(G)\cup E(G)\rightarrow\mathbb{N}$ 满足 $\phi(u)\neq\phi(v)$ 且 $\phi(uv)\neq\phi(u)$ 对所有 $uv\in E(G)$，以及 $\phi(uv)\neq\phi(uw)$ 对任意 $u \in V(G)$ 和互异的 $v,w \in N(u)$（其中 $N(u)$ 表示 $u$ 的邻居集合），则 $\phi$ 为图 $G$ 的总染色。若对所有 $uv\in E(G)$ 都有 $\phi(\{u\}\cup\{uw:w\in N(u)\})\neq\phi(\{v\}\cup\{vw\colon w\in N(v)\})$，则总染色 $\phi$ 称为“相邻顶点可区分”(Adjacent Vertex Distinguishing, 简称 AVD)。张、陈、李、姚、陆、王等人（《中国科学院大学数学系列A卷》48卷第3期：289--299，2005）提出了 AVD 总染色猜想，指出每个图都存在用至多 $\Delta(G)+3$ 种颜色完成的 AVD 总染色，其中 $\Delta(G)$ 为图的最大度。对于某个 $s\in\mathbb{N}$，若图 $G$ 的每个子图的最大度至多为 $s$，则称 $G$ 为 $s$ 退化图。苗、石、胡、罗o（《离散数学》339卷第10期：2446--2449，2016）证明了 2-退化图的 AVD 总染色猜想成立。我们验证了 3-退化图的猜想。