图的局部不规则总着色

总图是一个有序三元组 $(V_0, V_1, E)$，其中 $V_0, V_1$ 分别是空顶点和满顶点的集合，$V_0 \cap V_1 = \emptyset$，且边集 $E$ 是 $\binom{V_0 \cup V_1}{2}$ 的子集（$E \cap (V_0 \cup V_1) = \emptyset$）。简单图是所有顶点均为满顶点的总图。若总图 $G$ 中每两个相邻顶点的总度数不同，则称其为局部不规则总图。其中顶点的总度数定义为：若顶点 $v$ 为满顶点，则为包含 $v$ 的边数加1；若为空顶点，则为包含 $v$ 的边数加0。若图 $G$ 的一种着色使得每个颜色诱导的子图为局部不规则总图，则称其为局部不规则总着色。要求最少颜色数的着色记为 ${\rm tlir}(G)$。2015年，Baudon、Bensmail、Przyby{\l}o 和 Wo{\'z}niak conjectured 该值对每个图 $G$ 都不超过2。本文证明了该猜想对 cactus、次三角图和分离图均成立。我们还给出 ${\rm tlir}(G)$ 的一般上界，具体取决于图的染色数；若图为平面图或外平面图，则给出常数上界。在我们的证明中，我们利用图的特殊分解以及无环顶点着色与局部不规则总着色之间的联系。