2-重多重图与仙人掌图的局部不规则猜想

若每条重边的两个端顶点度数均不同，则称该多重图为局部不规则的。局部不规则着色是多重图$G$的一种边着色，使得每种颜色诱导出$G$的一个局部不规则子多重图。局部不规则可着色多重图$G$是指任何容许局部不规则着色的多重图。我们用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，即局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最少颜色数。对于图，定义类似。2-重多重图的局部不规则猜想声称：对于每个不与$K_2$同构的连通图$G$，通过将每条边加倍得到的多重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$。我们对该猜想在仙人掌图上予以证明。这类图对于2-重多重图的局部不规则猜想以及局部不规则猜想（声称每个局部不规则可着色图$G$满足${\rm lir}(G)\leq 3$）都十分重要。起初已观察到所有非局部不规则可着色的图都是仙人掌图。近来已证明仅存在一个需要4种颜色进行局部不规则着色的仙人掌图，因此局部不规则猜想被推翻。