关于最大平均度有界图的全邻和区分指数

图 $G=(V,E)$ 的恰当全 $k$-染色是对 $G$ 的边与顶点指派颜色 $c : V \cup E\to \{1,2,\ldots,k\}$，使得任意两条相邻边或相邻顶点，以及任意一条边与其端顶点均不关联相同颜色。全邻和区分 $k$-染色（简称 tnsd $k$-染色）是一种恰当全 $k$-染色，满足对 $G$ 的每条边 $uv$ 有 $\sum_{e\ni u}c(e)+c(u)\neq \sum_{e\ni v}c(e)+c(v)$。我们以 $\chi''_{\Sigma}(G)$ 记 $G$ 的全邻和区分指数，即存在 $G$ 的 tnsd 边 $k$-染色的最小整数 $k$。已有猜想：对每张图 $G$ 均有 $\chi''_{\Sigma}(G) \leq \Delta(G) + 3$。本文中，我们对该猜想在任意满足 ${\rm mad}(G)<\frac{14}{3}$ 且 $\Delta(G) \geq 8$ 的图 $G$ 上予以证实。