关于平面图的邻点和区分指数

设$c$为图$G=(V,E)$使用整数$1,2,\ldots,k$进行的正常边着色。则$k\geq \Delta(G)$，而根据 Vizing 定理，构造这样的$c$所需$k$不超过$\Delta(G)+1$。在研究图的不规则性过程中，有人进一步猜想，仅需稍大的$k$，即$k=\Delta(G)+2$，即可强制$c$具备额外的强特征，即只要该图没有孤立边且不同构于$C_5$，它就能为$G$中的相邻顶点赋予不同的关联颜色之和。我们证明了该猜想对于具有足够大最大度数的平面图成立。事实上，甚至更强的结论也成立，即证明了源自 Vizing 结果的必要颜色数对于此类图族是充分的。具体而言，我们的主要结果表明，每个最大度数至少为 28 且不包含孤立边的平面图$G$，都存在一个正常边着色$c:E\to\{1,2,\ldots,\Delta(G)+1\}$，使得对于$G$的每条边$uv$，都有$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$。