图的远距离和区分指数

考虑一个正整数 $r$ 和一个无孤立边的图 $G=(V,E)$，其最大度为 $\Delta$。使得存在一个正常边染色 $c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$，满足对于 $G$ 中每一对距离至多为 $r$ 的不同顶点 $u,v$ 都有 $\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$ 的最小 $k$ 记为 $\chi'_{\Sigma,r}(G)$。对于 $r=1$，已证明 $\chi'_{\Sigma,1}(G)=(1+o(1))\Delta$。反过来，对于任意 $r\geq 2$，已知存在一个无限的图族满足 $\chi'_{\Sigma,r}(G)=\Omega(\Delta^{r-1})$。我们证明另一方面，对于 $r\geq 2$ 有 $\chi'_{\Sigma,r}(G)=O(\Delta^{r-1})$。特别地，我们证明若 $r\geq 4$，则 $\chi'_{\Sigma,r}(G)\leq 6\Delta^{r-1}$。