图的距离染色

设 $G$ 为最大度 $\Delta \ge 3$ 的连通图。我们研究幂图 $G^\gamma$ 的色数 $\chi_\gamma(G)$ 的上界。已证明 $\chi_\gamma(G) \le\Delta\frac{(\Delta-1)^{\gamma}-1}{\Delta-2}+1=:M+1$，等号成立当且仅当 $G$ 为摩尔图。若 $G$ 不是摩尔图，且满足以下条件之一：(1) $G$ 是非正则的，(2) 围长 $g(G) \le 2\gamma-1$，(3) $g(G) \ge 2\gamma+2$，且当 $\gamma \ge 3$ 时连通度 $\kappa(G) \ge 3$，当 $\gamma =2$ 时 $\kappa(G) \ge 4$ 但 $g(G) >6$，(4) $\Delta$ 相对于仅依赖于 $\gamma$ 的某个给定数足够大，则 $\chi_\gamma(G) \le M-1$。借助 $G$ 的邻接矩阵的谱半径 $\lambda_1(G)$，证明了 $\chi_2(G) \le \lambda_1(G)^2+1$，等号成立当且仅当 $G$ 为星图或直径为 2 且围长为 5 的摩尔图，且当 $\gamma \ge 3$ 时 $\chi_\gamma(G) < \lambda_1(G)^\gamma+1$。