有向图的有向染色：度有界与退化有界图

本文考虑了有向图 $G$ 的有向色数 $\chi_o(G)$ 关于其 $2$-有向路色数 $\chi_2(G)$、退化度 $d(G)$ 和最大度 $\Delta(G)$ 的上界。特别地，我们证明对所有满足 $\chi_2(G) \leq k$（其中 $k \geq 2$）且 $d(G) \leq t$（其中 $t \geq \log_2(k)$）的图 $G$，有 $\chi_o(G) = 33/10(k t^2 2^t)$。这将 MacGillivray、Raspaud 和 Swartz 提出的形如 $\chi_o(G) \leq 2^{\chi_2(G)} -1$ 的上界，对许多图类（特别是退化度有界的图类）改进为多项式上界。此外，我们渐近地改进了有向色数关于最大度和退化度的上界。例如，我们证明对所有图有 $\chi_o(G) \leq (2\ln2 +o(1))\Delta^2 2^\Delta$，而对退化度随最大度次线性增长的图有 $\chi_o(G) \leq (2+o(1))\Delta d 2^d$。此处渐近式关于 $\Delta$。前者改进了 Kostochka、Sopena 和 Zhu \cite{kostochka1997acyclic} 结果的渐近性，后者改进了 Aravind 和 Subramanian \cite{aravind2009forbidden} 结果的渐近性。两项改进均达常数因子。