具有度约束图的推可染色数

推同态以及有向图的推可染色数 $\chi_p$ 由 Klostermeyer 和 MacGillivray 于 2004 年引入。他们特别观察到，对于任意有向图 $\overrightarrow{G}$，有 $\chi_p(\overrightarrow{G}) \leq \chi_o(\overrightarrow{G}) \leq 2 \chi_p(\overrightarrow{G})$，其中 $\chi_o(\overrightarrow{G})$ 表示 $\overrightarrow{G}$ 的有向染色数。这是关于 $\chi_p$ 的首个一般性界。该参数在后续工作中得到了进一步研究。本文致力于研究满足特定度条件的有向图的推可染色数。对于所有 $\Delta \geq 29$，我们首先证明最大度为 $\Delta$ 的有向图的推可染色数的最大值介于 $2^{\frac{\Delta}{2}-1}$ 与 $(\Delta-3) \cdot (\Delta-1) \cdot 2^{\Delta-1} + 2$ 之间，这给出了同一类图的有向染色数的改进界。对于次三次有向图，即 $\Delta \leq 3$ 时，我们进而证明推可染色数的最大值为 $6$ 或 $7$。我们还证明了最大平均度小于 $3$ 的有向图的推可染色数的最大值介于 $5$ 与 $6$ 之间。前述 $7$ 的上界同样作为围长至少为 $6$ 的平面有向图的推可染色数的上界成立。