精确距离图的色数

对于任意图 $G=(V,E)$ 和正整数 $p$，精确距离-$p$ 图 $G^{[\natural p]}$ 是具有顶点集 $V$ 的图，其中顶点 $x$ 和 $y$ 之间有边当且仅当 $x$ 和 $y$ 在 $G$ 中的距离为 $p$。对于奇数 $p$，Nešetřil 和 Ossona de Mendez 证明了对于任何具有有界扩张的固定图类，$G^{[\natural p]}$ 的色数由一个绝对常数界定。利用广义染色数的概念，我们给出了 Nešetřil 和 Ossona de Mendez 结果的一个更简单的证明，同时得到了显著更好的界。特别地，我们证明对于任意图 $G$ 和奇正整数 $p$，$G^{[\natural p]}$ 的色数由 $G$ 的弱 $(2p-1)$-染色数界定。对于偶数 $p$，我们证明 $\chi(G^{[\natural p]})$ 至多是弱 $(2p)$-染色数乘以最大度。对于奇数 $p$，当 $G$ 为平面图时，对 $G^{[\natural p]}$ 染色所需颜色数的现有下界得到了改进。对于无 $K_t$-子式图，给出了类似的下界。