弦图的精确距离图着色

对于图 $G=(V,E)$ 和正整数 $p$，精确距离-$p$ 图 $G^{[\natural p]}$ 是以 $V$ 为顶点集、且顶点 $x$ 与 $y$ 之间有边当且仅当 $x$ 和 $y$ 的距离为 $p$ 的图。近来，人们致力于对某些图类 $G$ 的精确距离-$p$ 图的色数 $\chi(G^{[\natural p]})$ 给出界。特别地，若图 $G$ 的树宽为 $t$，已证明对奇数 $p$ 有 $\chi(G^{[\natural p]}) \in \mathcal{O}(p^{t-1})$，对偶数 $p$ 有 $\chi(G^{[\natural p]}) \in \mathcal{O}(p^{t}\Delta(G))$。我们证明若 $G$ 是弦图且树宽为 $t$，则对奇数 $p$ 有 $\chi(G^{[\natural p]}) \in \mathcal{O}(p\, t^2)$，对偶数 $p$ 有 $\chi(G^{[\natural p]}) \in \mathcal{O}(p\, t^2 \Delta(G))$。若能证明对每一个树宽为 $t$ 的图 $H$，存在一个树宽为 $t$ 的弦图 $G$ 将 $H$ 作为等距子图（即保距离子图）包含，则我们的结果可推广到所有树宽为 $t$ 的图。尽管我们不能做到这一点，我们证明了对于每一个亏格为 $g$ 的图 $H$，存在一个亏格为 $g$ 的三角剖分图 $G$ 并将 $H$ 作为等距子图包含。