弦图的正确定向数

图 $G=(V,E)$ 的一个定向 $D$ 是通过将每条边替换为具有相同端点的两种可能弧之一而得到的 digraph。对每个 $v \in V(G)$，$v$ 在 $D$ 中的入度记为 $d^-_D(v)$，是 $D$ 中以 $v$ 为头的弧的数量。若对所有 $uv\in E(G)$ 有 $d^-_D(u)\neq d^-_D(v)$，则 $G$ 的定向 $D$ 是 proper（正确的）。最大入度不超过 $k$ 的定向称为 $k$-定向。$G$ 的正确定向数记为 $\overrightarrow{\chi}(G)$，是使得 $G$ 容许一个正确的 $k$-定向的最小整数 $k$。我们证明判定 $\overrightarrow{\chi}(G) \leq k$ 对于直径有界的弦图是 NP-complete 的，但在拟阈值图子类中可线性时间求解。以 $k$ 为参数时，我们论证该问题对弦图是 FPT 的，并论证除非 $NP\subseteq coNP/\ poly$ 否则不存在多项式核。我们给出了对分裂图子类的更优核以及对余二部图类的线性核。关于界，我们证明了块图子类的紧上界。我们还给出了正确定向数至多为 2 和至多为 3 的树的新族。实际上，我们证明了一个一般界：任何没有度至少为 $c+1$ 的相邻顶点的图 $G$ 的正确定向数至多为 $c$。这给出了具有有界正确定向数的（外）平面图新类。我们还证明了弱对偶为路径的极大外平面图 $G$ 满足 $\overrightarrow{\chi}(G)\leq 13$。最后，我们给出了弦图无爪图和余图类的简单界。