树的加权恰当定向与有界树宽图的加权恰当定向

给定简单图 $G$、权函数 $w:E(G)\rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$ 以及 $G$ 的一个定向 $D$,我们定义 $\mu^-(D) = \max_{v \in V(G)} w_D^-(v)$,其中 $w^-_D(v) = \sum_{u\in N_D^{-}(v)}w(uv)$。若当 $u$ 与 $v$ 相邻时总有 $w^-_D(u) \neq w^-_D(v)$,则称 $D$ 为 $G$ 的加权恰当定向。我们引入 $G$ 的加权恰当定向数参数,记为 $\overrightarrow{\chi}(G,w)$,其为在所有加权恰当定向 $D$ 上 $\mu^-(D)$ 的最小值。当所有权值均为 1 时,该参数等于 $G$ 的恰当定向数,后者已被近期研究关注,其确定在一般情形下为 NP 困难,但在树上可多项式时间求解。本文证明加权恰当定向数的等价判定问题(即 $\overrightarrow{\chi}(G,w) \leq k$?)在树上为(弱)NP 完全,但可由运行时间依赖于 $k$ 的伪多项式时间算法求解。此外,我们提出一种动态规划算法以确定具有 $n$ 个顶点且树宽至多为 ${\sf tw}$ 的一般图 $G$ 是否满足 $\overrightarrow{\chi}(G,w) \leq k$,其运行时间为 $O(2^{{\sf tw}^2}\cdot k^{3{\sf tw}}\cdot {\sf tw} \cdot n)$;并通过证明该问题在一般图上以 $G$ 的树宽为参数时是 W[1] 困难的(即使权值关于 $n$ 为多项式)来补充此结果。