论树深在完全多项式 FPT 算法中的能力

P 类中有许多经典问题，其时间复杂度在过去几十年中未曾得到改进。近期关于“P 中的困难性”的研究表明，对于其中几个问题，在某些复杂性假设下，当前最快的算法已是可能的最优算法。为了规避这一困难，Fomin 等人（SODA 2017）引入了完全多项式 FPT 算法的概念。对于当前最佳时间复杂度为 $O(n^c)$ 的问题，目标是设计一个对于参数 $k$ 和常数 $c'<c$ 运行时间为 $k^{O(1)}n^{c'}$ 的算法。在本文中，我们研究了以树深（一个与树宽相关的图参数）为参数的 P 类图问题的复杂度。我们证明了一种简单的分治方法可以求解许多图问题，包括加权匹配、负环检测、最小权重环、替换路径和 2-hop Cover，运行时间为 $O(\mathrm{td}\cdot m)$ 或 $O(\mathrm{td}\cdot (m+n\log n))$，其中 $\mathrm{td}$ 是输入图的树深。因为任何树宽为 $\mathrm{tw}$ 的图其树深至多为 $(\mathrm{tw}+1)\log_2 n$，我们的算法运行时间也为 $O(\mathrm{tw}\cdot m\log n)$ 或 $O(\mathrm{tw}\cdot (m+n\log n)\log n)$。这些结果匹配或改进了此前以树宽为参数的最佳算法。特别是，我们解决了 Fomin 等人提出的关于以树宽为参数的加权匹配完全多项式 FPT 算法的开放问题。