图的 proper orientation number 的新结果

图的 proper orientation D 是指将无向图 G 的方向化，使得对于任意边 $uv\in E(G)$，都有 $d_D^+(u)\neq d_D^+(v)$。无向图 G 的 proper orientation number $\vec{\chi}(G)$ 定义为所有 proper orientation D 中的最小 $\Delta^+(D)$。Chen、Mohar 和 Wu（JCTB，2023）证明，如果 G 是一个 r 部分图，则 $\vec{\chi}(G)\leq \frac{1}{2} \text{Mad}(G)+O(\frac{r\log{r}}{\log\log{r}})$，其中 $\text{Mad}(G)$ 为 G 的最大平均度。而且，如果 G 是二分图，则 $\vec{\chi}(G)\leq \lceil \frac{1}{2} \text{Mad}(G)\rceil +3$，且该界限是紧的。他们还询问 $\vec{\chi}(G)-\lceil \frac{1}{2} \text{Mad}(G)\rceil$ 是否可以被 r 的线性函数界定。在本文中，我们证明对于每一个 3 部分图 G，都有 $\vec{\chi}(G)\leq \lceil \frac{1}{2} \text{Mad}(G)\rceil +7$。作为推论，我们还改进了 Chen、Mohar 和 Wu 对 3 可着色平面图和外平面图的界限。我们的证明使用 potential out-degree 和带特殊加权函数的加权匹配引理。我们还构造了一类 r 部分图，其 $\vec{\chi}(G)\geq \lceil \frac{1}{2} \text{Mad}(G)\rceil +r+1$，作为可能的极端图。