曲面上图束缚数的改进上界

图 $G$ 的束缚数 $b(G)$ 是指从 $G$ 中移除后使得支配数增大的最少边数。最近 Gagarin 和 Zverovich 证明，对于最大度为 $\Delta(G)$ 且可嵌入亏格为 $h$ 的可定向曲面和亏格为 $k$ 的不可定向曲面的图 $G$，有 $b(G)\leq\min\{\Delta(G)+h+2,\Delta+k+1\}$。他们还给出例子表明，对其证明进行调整可隐含地为较大的 $h$ 和 $k$ 值提供更好的结果。本文利用欧拉示性数 $\chi$ 代替亏格 $h$ 和 $k$（满足关系 $\chi=2-2h$ 和 $\chi=2-k$），建立了 $b(G)$ 的改进显式上界。我们证明，对于 $\chi\leq0$（即 $h\geq1$ 或 $k\geq2$）的情形，有 $b(G)\leq\Delta(G)+\lfloor r\rfloor$，其中 $r$ 是三次方程 $z^3+2z^2+(6\chi-7)z+18\chi-24=0$ 的最大实根。我们的证明基于 Carlson-Develin 和 Gagarin-Zverovich 发展的技术，并引入了初等微积分作为新要素。我们还找到了 $\chi\leq0$ 时的一个渐近等价结果 $b(G)\leq\Delta(G)+\lceil\sqrt{12-6\chi\,}-1/2\rceil$，以及对大围长图的进一步改进。