低色数图的立方度关于盒度的上界

图 $G$ 的盒度（分别为立方度）是最小的非负整数 $k$，使得 $G$ 可以表示为轴平行 $k$ 维盒子（分别为 $k$ 维单位立方体）的交集图，记为 $box(G)$（分别为 $cub(G)$）。Adiga 和 Chandran (Journal of Graph Theory, 65(4), 2010) 证明了对于任何图 $G$，有 $cub(G) \le$ box$(G) \left \lceil \log_2 \alpha \right \rceil$，其中 $\alpha = \alpha(G)$ 是 $G$ 中最大独立集的基数。在本注记中，我们证明了 $cub(G) \le 2 \left \lceil \log_2 \chi(G) \right \rceil box(G) + \chi(G) \left \lceil \log_2 \alpha(G) \right \rceil$。一般而言，对于色数有界的图类，该结果可以提供比 Adiga 和 Chandran 的结果好得多的上界。例如，对于二分图，我们得到 $cub(G) \le 2 (box(G) + \left \lceil \log_2 \alpha(G) \right \rceil )$。此外，我们证明了对于每个正整数 $k$，都存在色数为 $k$ 的图，使得对于任意 $\epsilon > 0$，我们要给出的上界值至多为其立方度的 $(1+\epsilon)$ 倍。因此，我们的上界几乎是紧的。