关于二部图的立方性

{\it $k$维单位立方体（或$k$-立方体）定义为笛卡尔积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实数轴上形如$[a_i, a_i+1]$的闭区间。图$G$的{\it 立方性}，记为$cub(G)$，是使得$G$成为一组$k$-立方体的交图的最小$k$。许多NP完全图问题在低立方性图上可以高效求解或具有良好近似比。在大多数此类情形中，第一步是获得给定图的低维立方体表示。已知对于图$G$，有$cub(G) \leq \lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$。最近研究表明，对于图$G$，$cub(G) \leq 4(\Delta + 1)\ln n$，其中$n$和$\Delta$分别是$G$的顶点数和最大度。在本文中，我们证明对于二部图$G = (A \cup B, E)$，其中$|A| = n_1$，$|B| = n_2$，$n_1 \leq n_2$，且$\Delta' = \min\{\Delta_A, \Delta_B\}$，这里$\Delta_A = \max_{a \in A}d(a)$，$\Delta_B = \max_{b \in B}d(b)$，$d(a)$和$d(b)$分别是$a$和$b$在$G$中的度数，则有$cub(G) \leq 2(\Delta'+2) \lceil \ln n_2 \rceil$。我们还给出了一个高效的随机化算法，可在$3(\Delta'+2)\lceil \ln n_2 \rceil$维空间中构造$G$的立方体表示。读者可以注意到，一般情况下$\Delta'$可能远小于$\Delta$。