积图的盒维数与立方维数

图 $G$ 的‘盒维数’（‘立方维数’）是指最小的自然数 $k$，使得 $G$ 可以表示为 $R^k$ 中轴平行矩形盒（轴平行单位立方体）的交集图。在本文中，我们根据分量图的不变量，给出了图的笛卡尔积、强积和直积的盒维数与立方维数的估计。特别地，我们研究了关于这三种积，图的 $d$ 次幂的盒维数与立方维数随 $d$ 的增长情况。除其他结果外，我们展示了一个令人惊讶的结果：任何给定有限图的 $d$ 次笛卡尔幂的盒维数和立方维数分别属于 $O(\log d / \log\log d)$ 和 $\theta(d / \log d)$。另一方面，我们证明了对于一般图关于强积和直积的幂，其盒维数的增长不存在任何次线性界。