Mycielski 图盒维数的界

欧几里得 $k$ 空间中的盒是笛卡尔积 $I_1\times I_2\times \cdots \times I_k$，其中 $I_j$ 是实数轴上的闭区间。图 $G$ 的盒维数（记为 $\text{box}(G)$）是使得 $G$ 同构于欧几里得 $k$ 空间中一族盒的交集图的最小非负整数 $k$。Mycielski 引入了一种有趣的图运算，将图 $G$ 扩展为一个新图 $M(G)$，称为 $G$ 的 Mycielski 图。本文观察了 Mycielski 图的盒维数行为。对于图 $G$，不等式 $\text{box}(M(G))\geq \text{box}(G)$ 成立，因此我们关注 $G$ 的 Mycielski 图的盒维数是否大于 $G$ 的盒维数。在此，我们给出了 Mycielski 图盒维数的界：对于具有 $l$ 个通用顶点的图 $G$，不等式 $\text{box}(G)+\left \lceil \frac{l}{2}\right \rceil \leq \text{box}(M(G))\leq \theta (\overline{G})+\left\lceil \frac{l}{2}\right\rceil +1$ 成立，其中 $\theta (\overline{G})$ 是补图 $\overline{G}$ 的边团覆盖数。进一步的观察确定了当 $G$ 没有通用顶点或具有奇数个通用顶点且满足 $\text{box}(G)=\theta (\overline{G})$ 时，Mycielski 图 $M(G)$ 的盒维数。我们还展示了在盒维数背景下 Mycielski 图 $M(G)$ 与其类比图 $M_3(G)$ 和 $M_r(G)$ 之间的关系，这将鼓励我们计算 $M(G)$ 或 $M_3(G)$ 的盒维数。