盒维数与最大度

轴平行 $d$ 维盒是笛卡尔积 $R_1 \times R_2 \times ... \times R_d$，其中 $R_i$（对 $1 \le i \le d$）是实数线上形如 $[a_i, b_i]$ 的闭区间。对于图 $G$，其 \emph{盒维数} $\boxi(G)$ 是最小维数 $d$，使得 $G$ 可表示为 $d$ 维空间中（轴平行）盒的交图。盒维数的概念在生态学、运筹学等多个领域有应用。我们证明对任意最大度为 $\Delta$ 的图 $G$，有 $\boxi(G) \le 2 \Delta^2 + 2$。考虑到存在如扩展图这样高度连通的有界度图，该界不依赖于顶点数这一点颇令人意外。我们的证明非常简短且具有构造性。我们猜想 $\boxi(G)$ 为 $O(\Delta)$。