区间图的立方性与爪数

设 $G(V,E)$ 是一个简单无向图，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。一个 $b$ 维立方体是笛卡尔积 $I_1\times I_2\times...\times I_b$，其中每个 $I_i$ 是实轴上的单位长度闭区间。$G$ 的\emph{立方性}，记为 $\cub(G)$，是最小正整数 $b$，使得 $G$ 中的顶点可以映射到轴平行的 $b$ 维立方体，且两个顶点在 $G$ 中相邻当且仅当它们对应的立方体相交。假设 $S(m)$ 表示一个有 $m+1$ 个节点的星图。我们将图的\emph{爪数} $\psi(G)$ 定义为最大的正整数 $m$，使得 $S(m)$ 是 $G$ 的诱导子图。容易证明，任何图的立方性至少为 $\ceil{\log_2\psi(G)}$。在本文中，我们证明对于区间图 $G$，有 $\ceil{\log_2\psi(G)}\le\cub(G)\le\ceil{\log_2\psi(G)}+2$。至今我们未能找到任何满足 $\cub(G)>\ceil{\log_2\psi(G)}$ 的区间图。我们还证明，对于区间图 $G$，有 $\cub(G)\le\ceil{\log_2\alpha}$，其中 $\alpha$ 是 $G$ 的独立数。因此，在 $\psi(G)=\alpha$ 的特殊情况下，$\cub(G)$ 恰好等于 $\ceil{\log_2\alpha}$。立方性的概念可以通过考虑盒子而非立方体来推广。一个 $b$ 维盒子是笛卡尔积 $I_1\times I_2\times...\times I_b$，其中每个 $I_i$ 是实轴上的闭区间。图的\emph{盒性}，记为 $box(G)$，是最小的 $k$ 使得 $G$ 是 $k$ 维盒子的交图。显然 $box(G)\le\cub(G)$。由上述结果可知，对于任何图 $G$，有 $\cub(G)\le box(G)\ceil{\log_2\alpha}$。