AT-free图与圆弧图的立方度

k维单位立方体（k-cube）定义为笛卡尔积 $R_1\times R_2\times...\times R_k$，其中 $R_i$（$1\leq i\leq k$）是实数轴上形如 $[a_i,a_i+1]$ 的闭区间。若图 $G$ 的每个顶点均可映射为一个 $k$-立方体，使得 $G$ 中两顶点相邻当且仅当其对应的 $k$-立方体交集非空，则称 $G$ 可表示为 $k$-立方体的交集（$k$ 维立方体表示）。图 $G$ 的立方度（cubicity），记为 $\cubi(G)$，是指 $G$ 能表示为 $k$-立方体交集的最小 $k$ 值。给定图 $G$ 的顶点带宽排序，其中 $bw$ 为 $G$ 的带宽（bandwidth），我们提出了一种 $O(bw\cdot n)$ 算法，用于计算一般图 $G$ 在 $bw+1$ 维空间中的立方体表示。由此，我们得到了许多知名图类（如 AT-free 图、圆弧图和 co-comparability 图）的立方度 $O(\Delta)$ 上界，因为这些图类的带宽为 $O(\Delta)$。具体结论如下：1) 若 $G$ 为 AT-free 图，则 $\cubi(G)\leq 3\Delta-1$；2) 若 $G$ 为圆弧图，则 $\cubi(G)\leq 2\Delta+1$；3) 若 $G$ 为 co-comparability 图，则 $\cubi(G)\leq 2\Delta$。此外，对于这些图类，存在带宽计算的常数因子近似算法，可生成顶点宽度为 $O(\Delta)$ 的排序。因此，我们可以在多项式时间内生成此类图在 $O(\Delta)$ 维空间中的立方体表示。