亚立方图的填充色数

图 $G$ 的填充 $k$-着色是将 $V(G)$ 划分为集合 $V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个 $1\leq i\leq k$，$V_i$ 中任意两个不同顶点 $x,y$ 的距离至少为 $i+1$。图 $G$ 的填充色数 $\chi_p(G)$ 是使 $G$ 存在填充 $k$-着色的最小 $k$。Sloper 证明了存在填充色数任意大的 $4$-正则图。关于亚立方图的填充色数是否有界的问题出现在多篇文献中。我们给出了否定答案。此外，我们证明了对于每个固定的 $k$ 和 $g\geq 2k+2$，几乎每个顶点数为 $n$、周长至少为 $g$ 的立方图，其填充色数都大于 $k$。