图支配数的改进上界

设 $G$ 是一个阶为 $n$ 的图。对于没有孤立顶点的图 $G$，其支配数的一个经典上界是 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。然而，对于几类图族，我们有 $\gamma(G) \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$，这给出了一个实质性的改进上界。在本文中，我们给出了图 $G$ 满足 $\gamma(G) \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 的必要条件，以及图 $G$ 满足 $\gamma(G) \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 的一些充分条件。我们还刻画了所有满足 $\gamma(G) = \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 的 $n$ 阶连通图 $G$。此外，我们证明了对于不满足 $rad(G)=diam(G)=rad(\overline{G})=diam(\overline{G})=2$ 的图 $G$，判定是否 $\gamma(G) \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 或 $\gamma(\overline{G}) \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 可以在多项式时间内完成。我们猜想该判定问题对于任何图 $G$ 都可以在多项式时间内解决。