无 $4$-圈三次图独立支配数的紧界

给定图 $G$，$G$ 的一个支配集是顶点集 $S$，使得不在 $S$ 中的每个顶点在 $S$ 中都有一个邻点。$G$ 的支配数记为 $\gamma(G)$，是 $G$ 的支配集的最小大小。$G$ 的独立支配数记为 $i(G)$，是 $G$ 的同时为独立集的支配集的最小大小。近来，Abrishami 与 Henning 证明了若 $G$ 是围长至少为 $6$ 的三次图，则 $i(G) \le \frac{4}{11}|V(G)|$。我们展示了一个结果，不仅改进了上述结果的上界，且适用于更大类的图，并且还是紧的。具体而言，我们证明若 $G$ 是无 $4$-圈的三次图，则 $i(G) \le \frac{5}{14}|V(G)|$，且该界是紧的。我们的结果还意味着每个无 $4$-圈的三次图 $G$ 满足 $\frac{i(G)}{\gamma(G)} \le \frac{5}{4}$，这以肯定形式部分回答了 O 与 West 的一个问题。