图的独立横截支配数

设 $G=(V, E)$ 为一图。若 $V\setminus S$ 中每个顶点均与 $S$ 中某顶点相邻，则集合 $S\subseteq V(G)$ 是 $G$ 的一个{\it 支配集}。$G$ 的{\it 支配数}记为 $\gamma(G)$，是 $G$ 的最小支配集的基数。此外，若支配集 $S$ 与 $G$ 的每个最大独立集相交，则其是 $G$ 的一个{\it 独立横截支配集}。$G$ 的{\it 独立横截支配数}记为 $\gamma_{it}(G)$，是最小独立横截支配集的基数。2012年，Hamid 开创了图独立横截支配的研究，并提出以下两个猜想：猜想1. 若 $G$ 是含 $n$ 个顶点的非完全连通图，则 $\gamma_{it}(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$。猜想2. 若 $G$ 是连通二部图，则 $\gamma_{it}(G)$ 等于 $\gamma(G)$ 或 $\gamma(G)+1$。我们证明猜想1一般不成立。最近，Ahangar、Samodivkin、Yero 部分验证了猜想2为真。在此，我们证明猜想2的完整陈述。此外，我们给出了 Hamid 一个定理的正确版本。最后，我们回答了 Martínez、Almira 和 Yero 提出的关于图的独立横截全支配的问题。