图的边罗马控制

图 $G$ 的边罗马控制函数是一个函数 $f\colon E(G) \rightarrow \{0,1,2\}$，满足条件：对于每个满足 $f(e)=0$ 的边 $e$，都存在某条满足 $f(e')=2$ 的边 $e'$ 与之相邻。$G$ 的边罗马控制数记为 $\gamma'_R(G)$，定义为 $G$ 的所有边罗马控制函数 $f$ 的最小权重 $w(f) = \sum_{e\in E(G)} f(e)$。本文反驳了 Akbari、Ehsani、Ghajar、Jalaly Khalilabadi 和 Sadeghian Sadeghabad 提出的一个猜想，该猜想声称若 $G$ 是最大度为 $\Delta$ 且具有 $n$ 个顶点的图，则 $\gamma_R'(G) \le \lceil \frac{\Delta}{\Delta+1} n \rceil$。虽然存在边罗马控制数为 $\frac{2\Delta-2}{2\Delta-1} n$ 的反例，但我们证明了 $\frac{2\Delta-2}{2\Delta-1} n + \frac{2}{2\Delta-1}$ 是连通图的一个上界。此外，我们给出了 $k$-退化图的边罗马控制数的上界，推广了 Akbari、Ehsani、Ghajar、Jalaly Khalilabadi 和 Sadeghian Sadeghabad 的结果。我们还证明了次立方图的一个紧上界。另外，我们证明了 $n$ 个顶点的平面图的边罗马控制数至多为 $\frac{6}{7}n$，从而证实了 Akbari 和 Qajar 的一个猜想。我们还给出了围长至少为五且可 2-胞腔嵌入到小亏格曲面上的图的一个上界。最后，我们证明了不包含 $K_{2,3}$ 细分的图的一个上界，推广了 Akbari 和 Qajar 关于外平面图的结果。