图的带符号边控制数的上界
组合数学
2020-10-27 v2
摘要
简单图 G=(V,E) 的带符号边控制函数(或 SEDF)是一个函数 f:E→{1,−1},使得对每条边 e∈E 均有 ∑e′∈N[e]f(e′)≥1 成立,其中 N[e] 是 G 中与 e 至少共用一个端点的边集合。令 γs′(G) 表示在所有 SEDF f 中 f(G) 的最小值,其中 f(G)=∑e∈Ef(e)。2005 年,Xu 猜想 γs′(G)≤n−1,其中 n 为 G 的阶。该猜想已在 vodd(G)=0 和 veven(G)=0 两种情形下被证明,其中 vodd(G)(相应于 veven(G))为 G 中奇(偶)度顶点的个数。本文证明了 Xu 猜想在 veven(G)∈{1,2} 时成立。我们还证明了对于任意阶为 n 的简单图 G,当 veven(G)>0 时有 γs′(G)≤n+vodd(G)/2 和 γs′(G)≤n−2+veven(G),从而 γs′(G)≤(4n−2)/3。我们的结果改进了当前最佳上界 γs′(G)≤⌈3n/2⌉。
引用
@article{arxiv.2001.07955,
title = {Upper bounds on the signed edge domination number of a graph},
author = {Fengming Dong and Jun Ge and Yan Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2001.07955},
year = {2020}
}