图的2-彩虹控制数的界

图$G$的{\it 2-彩虹控制函数}是一个函数$f$，它为每个顶点分配一个从集合$\{1,2\}$中选出的颜色集，使得对于任意$v\in V(G)$，$f(v)=\emptyset$意味着$\bigcup_{u\in N(v)}f(u)=\{1,2\}$。图$G$的{\it 2-彩虹控制数$\gamma_{r2}(G)$}是所有此类函数$f$中$w(f)=\Sigma_{v\in V}|f(v)|$的最小值。设$G$是一个阶为$|V(G)|=n\geq 3$的连通图。我们证明$\gamma_{r2}(G)\leq 3n/4$，并刻画了达到等式的图。我们还利用树的控制数证明了树2-彩虹控制数的下界。此外，还给出了$\gamma_{r2}(G)$关于直径的其他一些上下界。