图的字典积中的彩虹支配

设 $k$ 为正整数，$f$ 为从 $V(G)$ 到集合 $\{1,2,3,...,k\}$ 的所有子集的映射。若对于 $G$ 中满足 $f(u)$ 为空集的任意顶点 $u$，对于 $\{1,2,3,...,k\}$ 中的每个整数 $r$，都存在 $u$ 的一个邻点 $x$ 使得 $f(x)$ 包含 $r$，则称函数 $f$ 为 $G$ 的一个 $k$-彩虹支配函数。$G$ 的 $k$-彩虹支配数定义为 $G$ 的所有顶点上由 $k$-彩虹支配函数分配的子集基数之和的最小值。$G$ 的 $k$-彩虹支配数等于 $G$ 与 $k$ 阶完全图的笛卡尔积的普通支配数。我们专注于图的字典积的 2-彩虹支配数，并证明了该数的尖锐上下界。事实上，除了 $H$ 的 2-彩虹支配数为 3 且存在 $H$ 的一个最小 2-彩虹支配函数使得 $H$ 中某顶点被赋予标签 $\{1,2\}$ 的情况外，我们用 $G$ 的支配不变量证明了 $G$ 与 $H$ 的字典积的 2-彩虹支配数的精确值。