完全图的笛卡尔积中的全k-支配

设$G=(V,E)$为一个有限无向图。$V$中顶点集合$S$被称为全$k$-支配集,若$V$中每个顶点都至少与$S$中$k$个顶点相邻。全$k$-支配数$\gamma_{kt}(G)$是$G$中全$k$-支配集的最小基数。本文研究两个完全图的笛卡尔积的全$k$-支配数,它是两个图的笛卡尔积的全$k$-支配数的下界。我们得到了两个完全图的笛卡尔积的全$k$-支配数的新下界和上界。作为我们所获界的推论,得到了一些渐近性质。特别地,我们得到对于阶至少为$n$的图$G,H$,有$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{\gamma_{kt}(G\Box H)}{n}\leq 2\,\left(\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil^{-1}+\left\lfloor\frac{k+4}{2}\right\rfloor^{-1}\right)^{-1}$。我们还证明等号成立当且仅当$k$为偶数。当$G,H$均同构于具有$n$个顶点的完全图$K_n$时等号成立。此外,我们得到了任意阶的两个完全图的笛卡尔积的全$2$-支配数的闭式公式。另外,我们证明对于$k=3$,上述不等式可改进为$\displaystyle\liminf_{n\to\infty} \gamma_{3t}(K_n\Box K_n)/n \leq 11/5$。