关于正则图的 $k$-元组全支配数与 $k$-元组支配数

设 $G$ 是一个阶为 $n$ 的连通图，其最小顶点度至少为 $k$。$G$ 的顶点子集 $S$ 称为 $k$-元组全支配集，如果 $G$ 的每个顶点都至少与 $S$ 中的 $k$ 个顶点相邻。$G$ 的 $k$-元组全支配集的最小基数称为 $G$ 的 $k$-元组全支配数，记为 $\gamma_{\times k,t}(G)$。Henning 和 Yeo 在\cite{hen}中证明了，若 $G$ 是不同于 Heawood 图的三次图，则 $\gamma_{\times 2, t}(G) \leq \frac{5}{6}n$，且该界是紧的。类似地，$k$-元组支配集是 $G$ 的顶点子集 $S \subseteq V(G)$，使得对于每个顶点 $v$，满足 $|N[v] \cap S| \geq k$，其中 $N[v] = \{v\}\cup \{u \in V(G) : uv \in E(G)\}$。$G$ 的 $k$-元组支配数（记为 $\gamma_{\times k}(G)$）是 $G$ 的 $k$-元组支配集的最小基数。在本文中，我们给出了一种简单的方法来计算 $r$-正则图的 $(r-1)$-元组全支配数的上界。此外，我们还给出了 $r$-正则图的 $r$-元组支配数的上界。另外，我们的方法提供了计算具有给定界的支配集的算法，而以往的方法仅是存在性证明。